行列と連立方程式の関係は!? 具体例を使って解説！

今回から行列と連立方程式の関係について見ていくよ！一見関係なさそうだけど、実は深い関係にあるんだ。

そうなんだ！意外！

皆さん連立方程式は中学校で勉強したと思います。

今回はそんな連立方程式と線形代数の主役と言ってもいい行列の関係について見ていきます。

実は連立方程式は行列で表せたりと意外と深い関係を持っているんですよ。

ではいきましょう！

1 連立方程式を行列で表してみよう！
2 行列の方程式を解くことと連立方程式を解くのは同じ！
3 まとめ: 行列の実用的な使い道が見えてきた

連立方程式を行列で表してみよう！

まず初めに連立方程式を行列で表してみましょう。

例として以下のような連立方程式を考えます。

\[
\left\{\begin{align}
3x_1 + 2x_2 & = & 9 \\
2x_1 + x_2 & = & 5
\end{align}\right.
\]

この連立方程式を仮にこのように行列で表してみるとどうでしょうか？

$$\boldsymbol{AB} = \left[
\begin{array}{rrr}
3 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{rr}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{rr}
9 \\
5 \\
\end{array}
\right] $$

ただし、$A$と$B$は次のように置いています。
$$\boldsymbol{A} = \left[
\begin{array}{rr}
3 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}
\right],\boldsymbol{B} = \left[
\begin{array}{rr}
x_1\\
x_2\\
\end{array}
\right]$$

この$A$と$B$を行列の積で計算してみるとこのようになります。

$$\boldsymbol{AB} = \left[
\begin{array}{rr}
3x_1 & 2x_2 \\
2x_1 & x_2 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{rr}
9 \\
5 \\
\end{array}
\right]$$

あれ？さっきの連立方程式と同じ式が出てきた！

そうだね！この例からわかる通り、連立方程式は実は行列で書けてしまうんだ。

行列の方程式を解くことと連立方程式を解くのは同じ！

さて、連立方程式が行列でかけることは先ほど示しました。

では、先ほどの連立方程式の解を行列の式に代入してみましょう。

\[
\left\{\begin{align}
3x_1 + 2x_2 & = & 9 \\
2x_1 + x_2 & = & 5
\end{align}\right.
\]

この連立方程式の解はこのようになります。

\begin{eqnarray}
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & 3
\end{eqnarray}

この解を行列の式に代入すると、、

$$\boldsymbol{} \left[
\begin{array}{rrr}
3 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{rr}
1 \\
3 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{rr}
9 \\
5 \\
\end{array}
\right] $$

そしてこの式の左辺を計算すると最終的にこのようになります。

$$\boldsymbol{} \left[
\begin{array}{rr}
9 \\
5 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{rr}
9 \\
5 \\
\end{array}
\right]$$

左辺と右辺が等しくなったね！

つまり、$x_1=1$と$x_2=3$は先ほどの行列の方程式の解ということになりますね。

このことから行列の方程式を解くことと連立方程式を解くことは同じであることが分かります。

行列の方程式を$x=$～の式に変換する方法については別記事で解説します。